Meetkunde
Waarom?
Door opeenvolgende curriculumhervormingen belandde meetkunde de laatste tien jaar in het verdomhoekje. Verschillende meetkundige onderwerpen hebben plaats geruimd voor onderwerpen als dataverwerking, statistiek en computationeel denken. De opbouw van de meetkundige kennis vertoont daardoor flinke gaten. Dit leidt tot meetkundelessen met een variëteit van losstaande lesonderwerpen (kijklijnen, aanzichten, figuren benoemen).
Wat?
In dit onderdeel van het project zochten we hoe het meetkundeonderwijs opnieuw betekenisvol kan zijn. Het is immers een rijk onderwerp waarmee leerlingen kunnen oefenen in het opbouwen van correcte redeneringen. En net oefenen met deze manier van denken zou het wiskundig redeneren, waaronder inzichten voor het computationeel denken, zeker ten goede komen.
Waarmee?
Bij de ontwikkeling ervan steunden we op twee elementen:
- We maakten gebruik van de onderstaande boomstructuur die de inhoudelijke samenhang van meetkunde zichtbaar maakt. Meetkundeonderwijs kan starten vanuit vier grote vragen:
- Welke figuur is dit?
- Welke eigenschappen heeft ze?
- Hoe verandert ze?
- Waar bevindt ze zich?
De verschillende onderwerpen die je behandelt, dragen telkens bij tot het vinden van een antwoord op één of meerdere vragen.

Als leidraad voor de ontwikkeling van meetkunde bij kinderen maakten we gebruik van de theorie van Van Hiele. Deze theorie gaat er vanuit dat meetkunde zich op verschillende denkniveaus kan afspelen. Dit maakt duidelijk welke opeenvolgende abstractiestappen kinderen zetten.
Niveau |
Omschrijving |
Uitspraken van leerlingen |
1. Visualisatie |
Leerlingen herkennen meetkundige figuren ‘op het zicht’ door ze te vergelijken met een prototype. Eigenschappen van figuren worden op dit niveau niet onderkend. Een vierkant dat op zijn punt gezet is, noemen ze vaak hardnekkig een ruit, ook al draai je voor hun ogen een vierkant op een punt. |
Deze figuur is een rechthoek omdat ze lijkt op een deur. |
2. Analyse |
Leerlingen zien figuren als een verzameling van eigenschappen. Ze kunnen eigenschappen herkennen en benoemen maar zien er geen verband tussen. Als een leerling een figuur beschrijft, zal hij alle eigenschappen benoemen zonder onderscheid tussen noodzakelijke en niet noodzakelijke eigenschappen. De leerling heeft geen besef van wat ‘voldoende’ eigenschappen zijn om een figuur te beschrijven. Ze zien ook geen verband tussen verschillende figuren. |
Een vierkant is geen rechthoek.
|
3. Abstrahering |
Leerlingen zien verbanden tussen eigenschappen en tussen figuren onderling. Ze kunnen betekenisvolle definities geven en informele argumenten formuleren om hun redenering te staven. Ze zien een verband tussen de verschillende klassen van figuren. Ze kunnen figuren hiërarchisch ordenen. Ze zijn in staat eenvoudige ‘als.. dan…’ redeneringen op te bouwen. De rol en betekenis van een formele deductie begrijpen ze echter nog niet |
Een vierkant heeft alle eigenschappen van een rechthoek en is dus een rechthoek. |
4. Ordening |
Leerlingen kunnen bewijzen opstellen. Ze begrijpen de rol van ongedefinieerde begrippen, definities, axioma’s en stellingen. Ze zien in dat om de juistheid van een stelling na te gaan, het niet volstaat om zeer veel voorbeelden te controleren, maar dat je door redenering een ‘bewijs’ moet geven. Ze vatten de bedoeling van een strenger en logischer systeem waarin de eigenschappen van de figuren passen. Ze kunnen werken met abstracte uitspraken en trekken besluiten op basis van logische redeneringen en niet op basis van intuïtie |
Ik kan bewijzen dat de diagonalen van een vierhoek elkaar in het midden snijden, de vierhoek een parallellogram is. |
5. Wiskundig systeem |
Leerlingen begrijpen de formele aspecten van deductie zoals het opstellen en vergelijken van wiskundige systemen. Ze kunnen indirecte bewijzen en bewijzen door contrapositie hanteren en ze zijn klaar voor niet-euclidische meetkunde |
‘Een vierkant is een rechthoek’ is hetzelfde als ‘een vierhoek die geen rechthoek is, is ook geen vierkant’. |
Meer weten: Van basisonderwijs naar secundair onderwijs – Uitwiskeling
Hoe?
Voor de ontwikkeling van het materiaal streven we naar rijkheid van inhoud en soberheid in vorm. Daarom kozen we voor éénzelfde document voor de leraar en de leerlingen. Zij krijgen dezelfde informatie ter beschikking. De structuur van het materiaal is als volgt:
- Oriëntering: waarop steun je, wat leer je, waar ga je naar toe
- Starttaak: zicht krijgen op wat er ontbreekt in je kennis
- Kennisdeel: de inzichten toegelicht
- Oefendeel: véél opdrachten om de kennis te verwerven, verdiepen, analyseren.
We kozen ervoor om de aanpak (werkvorm, groepering, selectie van de opdrachten…) helemaal aan de leraar over te laten. Hij bepaalt wat zijn leerlingen nodig hebben om deze leerstof te verwerven. Het materiaal is geschikt voor een lessenreeks van vijf à tien lessen.
Meer weten: Het mooie wiskundige bouwwerk als springplank voor de leraar – Volgens Bartjens (volgens-bartjens.nl)
Lesmateriaal: meetkundige objecten als casestudie
Vlakke figuren
De vlakke figuren en hun eigenschappen worden bestudeerd. Dit past in de vraag ‘welke figuur is dit?’ en ‘wat zijn de eigenschappen van deze figuur?’.
Situering
Het materiaal is geschikt voor leerlingen van de derde graad van het basisonderwijs/groep 7 en 8. Het kan ook gebruikt worden in het eerste jaar van het secundair/voortgezet onderwijs. Leerlingen zijn op dat moment bezig met het verwerven van niveau 3 in de theorie van Van Hiele.
Inzichten
- Betekenisvolle definities formuleren
- Classificeren van figuren
- Eigenschappen van figuren verantwoorden met informele argumenten
- Eenvoudige als … dan redeneringen op te bouwen
Oefenen
De opdrachten zijn geordend in drie reeksen. Reeks 1 ligt dicht bij het begrijpen en verwerven van de basisinzichten. Reeks 2 bevat verdiepende opgaven. Reeks 3 bevat uitdagende opdracht voor leerlingen die de leerstof snel verwerven.